Khi đầu tư ở các thị trường tài chính, người ta luôn đặt một kỳ vọng nào đó cho khoản lời mà nhà đầu tư có thể nhận lại được sau một khoản thời gian. Trong toán học kỳ vọng xuất hiện ở những phép tính đại số. Ở khía cạnh cờ bạc thì người ta kỳ vọng và đặt xác suất vào kết quả. Có thể thấy khái niệm này xuất hiện ở nhiều lĩnh vực trong cuộc sống nhưng không phải ai cũng hiểu rõ. Cùng tìm hiểu về giá trị kỳ vọng là gì.
1. Giá trị kỳ vọng là gì?
Giá trị kỳ vọng dịch ra tiếng anh là expected value hay có tên khác là giá trị trung bình, kỳ vọng toán, được ký hiệu là E(X). Giá trị mong đợi theo biến bất kỳ là giá trị phân phối trung bình được xác định qua công thức E(X) = ∫Xf(X)dX.
Trong đó X là biến bất kỳ và hàm f(X) là hàm xác định mật độ xác suất. Ở những lý thuyết xác suất, giá trị này của một biến bất kỳ chính là trung bình có trọng số từ tổng những trị giá của thể từ biến này, hay được đo lường thông qua toàn bộ tích giữa xác suất diễn ra từ từng giá trị có khả năng từ biến theo giá trị này: E(X) = ∑XiP(Xi) (i=1,…n)
Vậy thì nó thể hiện giá trị trung bình mà người ta luôn chờ đợi thắng khi mà người đó đặt cược liên tiếp nhiều lần mà mỗi lần tỷ lệ thắng là tương tự nhau. Chú ý rằng chính giá trị này có khả năng không được kỳ vọng dựa trên nghĩa bình thường, nó có khả năng ít diễn ra hay không thể diễn ra. Một trò chơi hay một trường hợp mà tại đó giá trị mong đợi bằng 0 được xem là một môi trường công bằng.
2. Cách tính giá trị kỳ vọng
Người ta sẽ tính giá trị mong đợi qua phương pháp sau: ví dụ như bạn có một biến bất kỳ Y. Ví dụ như những biến có thể xảy ra với Y là v₁, v₂,… vn. Xem p₁ là xác suất mà Y = v₁, p₂ là xác suất mà Y = v₂,… Giá trì được kỳ vọng của Y sẽ ký hiệu là E (Y), được đo lường bằng v₁p₁ + v₂p₂ +… + vnpn. Lúc này Y có giá trị được kỳ vọng là trung tâm (trị giá bình quân) từ phân phối giá trị Y. Vậy thì nó sẽ chính là giá trị mà bạn kỳ vọng Y sẽ nhận được, lúc này gọi đó là expected value.
Lấy ví dụ cụ thể như sau. Ví dụ như bạn đang đặt cược tại một tổ chức bài bạc và nếu bạn thắng, bạn sẽ mang về 199 đô la Mỹ, mức đặt cược là 1 đô la hay 5 đô la, tỷ lệ bạn có thể mang về 100 đô la chỉ có khoảng 1%. Chúng ta lấy ví dụ như chỉ có 49% khả năng bạn sẽ thua 1 đô la và có 50% tỷ lệ phần trăm bạn sẽ thua 5 đô la. Khi đó chúng ta sẽ tính giá trị được mong đợi trong ván cược này cho biến Y như sau E(Y) = 100 * 0,01 + (-1) * 0,49 + (-5) * 0,5 = – 1,99$. Do đó, giá trị mong đợi của ván cược này là -1.99$ hay điều này có thể được hiểu là bạn có thể sẽ thua 1.99 đô la.
Ở ví dụ này, đừng hiểu lầm cho trò chơi có tính ngẫu nhiên nên giá trị kỳ vọng nhỏ hơn 0. Những sòng bạc luôn biết cách sắp xếp sẵn trò chơi của họ để giá trị này nhỏ hơn 0, do đây chính là cách họ kiếm ra tiền, họ chỉ quan tâm 1 việc là miễn giá trị này nhỏ hơn 0 và có đủ lượng người chơi thì họ sẽ thu lợi nhuận.
Trong ví dụ trên, chỉ có 3 trường hợp có thể xảy ra với biến của bạn (số tiền bạn nhận được ). Thứ nhất là thắng 100$, mất 1$ hay mất 5$. Tuy nhiên ở đa số những phần mềm tại thế giới thực lại không hề như vậy. Ở đa số những trường hợp, những giá trị có khả năng xảy ra của biến hình thành một khoảng liên tiếp, bên cạnh việc chỉ có một vài số riêng lẻ. Hiểu theo nghĩa khác thì tại thế giới thực, đa số những biến bất kỳ là liên tiếp chứ không tác rời. Vì vậy bạn cần tìm ra giá trị mong đợi cho biến liên tiếp.
Khi Y liên tiếp, ta sẽ cần phải áp dụng phương pháp tính nhằm tìm ra trị giá mong đợi. Chúng ta còn cần phải áp dụng định nghĩa hàm mật độ xác suất f(Y), thể hiện tỷ suất tương đối mà ở đó biến Y có khả năng diễn ra trong một khoảng thời gian cụ thể.
3. Giá trị kỳ vọng trong thực tế
Giờ đây chúng ta sẽ tiếp tục đi sâu hơn và bao quát hơn về định nghĩa về giá trị này nhằm tính luôn cả những biến liên tiếp, và chúng ta sẽ thấy nó được thể hiện như thế nào trong thực tế cuộc sống hằng ngày.
Ở mọi thời điểm mà bạn cần phải đo lường một đại lượng nào đó chưa thể nắm được, dựa trên một cách hiểu nào đó, bạn đang áp dụng định nghĩa về giá trị mong đợi. Điều này sẽ cực kỳ chính xác nếu đại lượng đang ẩn đi đó là kết cục cho một sự kiện trong thời gian tới. Một tình huống khá dễ thấy về điều này đó là khi bạn tính toán thời gian đi đến đích của mình. Ví dụ như khi bạn nói với một người là bạn sẽ đến nhà tầm 6h sáng, chúng ta sẽ chuyển nó sang hướng toán học một chút là thời điểm tôi về đến nhà đang là biến bất kỳ, giá trị mong đợi của biến này là 6h.
Hãy lấy ví dụ như bạn sắp sửa bước vào một cuộc thi và bạn không có một sự ôn tập chắc chắn nào cho kỳ thi này, khi đó bạn tự nói với bản thân là số điểm của tôi ngày mai có thể là 50 điểm. Dưới góc nhìn toán học thì là “ điểm thi của tôi trong cuộc thi ngày mai là một biến bất kỳ, giá trị kỳ vọng đang là 50”. Tuy nhiên, con người thường không giỏi trong việc xác định những trị giá mong chờ này.
Tuy nhiên có một trường hợp ở thực tiễn mà định nghĩa về trị giá kỳ vọng cực kỳ có giá trị. Cái mà chúng ta đang bàn về các lập luận của lịch sử thay thế. Mọi người hay mâu thuẫn về những gì có khả năng đã diễn ra khi mà có một người làm điều gì khác ở thời gian trong quá khứ. Các cuộc mâu thuẫn này không dễ dàng để xử lý do lịch sử thay thế có tính chất suy đoán và những đối tượng riêng biệt sẽ đưa ra những sự mong đợi riêng biệt về các khả năng có thể đã diễn ra.
Nhưng khi bạn áp dụng định nghĩa về giá trị mong đợi bản chất đúng đẵn của những điều đang được bàn cãi sẽ trở nên dễ hiểu hơn nhiều và yếu tố dự đoán cho những gì có khả năng diễn ra sẽ không còn quá khó khăn như trước nữa.
Lấy ví dụ như khi bạn đang nói chuyện với phụ huynh về những gì mà họ đã bỏ qua và hối tiếc trong đời. Ví dụ như phụ huynh của bạn nói rằng họ có thể đã có mức lương cao hơn khi họ đi học và tốt nghiệp. mẹ bạn có thể sẽ nói rằng là không, điều này không tạo ra sự khác biệt nổi bật, dù gì thì bạn cũng vẫn ở vị trí cũ. Sự mâu thuẫn này sẽ xảy ra ở một thời điểm, đến khi nào một trong số đó lên tiếng rằng: chúng ta sẽ không thể biết được do nó không diễn ra.
Lời kết
Và đó là một vài thông tin cơ bản về khái niệm giá trị kỳ vọng mà bạn cần quan tâm. Có thể thấy là tưởng chừng như nó xuất hiện rộng rãi nên nó sẽ khá dễ hiểu tuy nhiên khi phân tích, xem xét kỹ hơn thì lại nhận ra định nghĩa này không hề đơn giản như mọi người vẫn tưởng tượng.
